CDMA正交计算

前置设定：规则介绍

在这个系统里，有4个基站（A、B、C、D）。

1. 专属密码（码片）： 系统给每个基站发了一串8位数的密码本（图a）。
   • C 的密码本是：C = (-1, +1, -1, +1, +1, +1, -1, -1)
2. 发消息规则： 计算机世界只有 1 和 0。
   • 如果 C 想发送比特 1：就在空中原样广播密码本 C。
   • 如果 C 想发送比特 0：就把密码本里所有的正负号反转（数学上叫 $\bar{C}$）。所以发 0 时，广播出去的是 (+1, -1, +1, -1, -1, -1, +1, +1)。
   • 如果 C 什么都不发（没说话）：广播出去的就是一串 0 (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)。

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第一步：空气中的信号“大乱炖”（对应图 c 发送端）

现在发生了一个复杂情况，也就是图里 $S_6$ 这一行的场景： A发了1，B发了1，C发了0，D发了1。 大家在同一时间、用同样的频率把电磁波发到了空气中。电磁波在空气中会物理叠加（直接相加）。

我们把这四个基站发出的数字排成队，挨个加起来：

• A 发 1 (原码)：(-1, -1, -1, +1, +1, -1, +1, +1)
• B 发 1 (原码)：(-1, -1, +1, -1, +1, +1, +1, -1)
• C 发 0 (反码)：(+1, -1, +1, -1, -1, -1, +1, +1) <– 注意这里符号全反了

• D 发 1 (原码)：(-1, +1, -1, -1, -1, -1, +1, -1)

• 空气中混合后的总信号 ($S_6$) = 上面四排竖着相加

让我们竖着算每一列（你对照着加一下）：

• 第1列: -1 -1 +1 -1 = -2
• 第2列: -1 -1 -1 +1 = -2
• 第3列: -1 +1 +1 -1 = 0
• 第4列: +1 -1 -1 -1 = -2
• 第5列: +1 +1 -1 -1 = 0
• 第6列: -1 +1 -1 -1 = -2
• 第7列: +1 +1 +1 +1 = +4
• 第8列: +1 -1 +1 -1 = 0

所以，在空气中飞驰、最后到达你手机天线里的信号是一堆乱七八糟的数字： $S_6$ = (-2, -2, 0, -2, 0, -2, +4, 0)

你看，信号已经混成一锅粥了，从这串数字里，你根本看不出C到底发了什么。

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第二步：奇迹般的“解码”（对应图 d 接收端）

你的手机现在收到了这坨混合信号 $S_6$。但你的手机正在和基站 C 通信，它只想知道 C 说了什么，根本不关心 A、B、D 说了什么。

手机该怎么做？ 秘诀是：把收到的混合信号，与基站C的“专属密码本”做一次“点积运算”，最后除以密码长度（8）。

什么是“点积运算”？ 很简单，就是把两串数字对应位置乘起来，然后再把8个乘积加在一起。

咱们来给 $S_6$ 算一下：

• 收到乱炖信号 $S_6$：(-2, -2, 0, -2, 0, -2, +4, 0)
• 掏出C的密码本 $C$：(-1, +1, -1, +1, +1, +1, -1, -1)

对应位置相乘：

• 第1个：(-2) × (-1) = +2
• 第2个：(-2) × (+1) = -2
• 第3个：( 0) × (-1) = 0
• 第4个：(-2) × (+1) = -2
• 第5个：( 0) × (+1) = 0
• 第6个：(-2) × (+1) = -2
• 第7个：(+4) × (-1) = -4
• 第8个：( 0) × (-1) = 0

把上面8个乘积加起来： (+2) + (-2) + 0 + (-2) + 0 + (-2) + (-4) + 0 = -8

最后一步，除以密码的长度（8位）： -8 ÷ 8 = -1

结论出来了：计算结果是 -1 ！ 根据我们的规定，算出 -1 就代表基站发了比特 0。 回想一下我们在第一步的设定：C 当时确实发送的是 0（反码）。解码完全正确！

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第三步：顺便验证一下“C没说话”的情况

你看图里还有个 $S_3$，那是 A 发了 1，B 发了 0，C和D都没说话（此时 $S_3 = A + \bar{B}$）。 幻灯片里算出空气中的 $S_3 = (0, 0, -2, +2, 0, -2, 0, +2)$。

如果你的手机这时候去听C说了什么呢？一样做点积运算：

• 乱炖信号 $S_3$：( 0, 0, -2, +2, 0, -2, 0, +2)
• C的密码本 $C$：(-1, +1, -1, +1, +1, +1, -1, -1)

乘起来并相加： (0×-1) + (0×1) + (-2×-1) + (2×1) + (0×1) + (-2×1) + (0×-1) + (2×-1) = 0 + 0 + 2 + 2 + 0 - 2 + 0 - 2 = 0

除以 8 依然是 0。 结论：算出 0，代表基站 C 什么都没发。 完全符合事实！

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终极原理：为什么能这么神奇？

你可能会问：凭什么A、B、D的信号就被过滤掉了？ 这就是数学家设计的“正交密码（Orthogonal Codes）”的魔力。

这种密码本有个逆天的数学特性：任何两个不同的密码本互相做点积，结果永远是 0。（比如 A 的密码本乘 C 的密码本，加起来等于 0；B 乘 C 也等于 0）。

当你的手机用 C 的密码去乘那坨混合信号 $(A + B + \bar{C} + D)$ 时，根据数学分配律： $C \times (A + B + \bar{C} + D) = (C\times A) + (C\times B) + (C\times \bar{C}) + (C\times D)$

因为正交特性，$(C\times A)$ 变成了0，$(C\times B)$ 变成了0，$(C\times D)$ 也变成了0！别人的信号就像魔法一样自动抵消了，变成了空气。 最后只剩下了 $(C\times \bar{C})$，也就是C自己的信号，被原原本本地提取了出来。

这就是码分复用的本质：大家都在同一个屋子里大声说话，但因为每个人用的“语言”（密码本）不同，而且语言之间互不干扰，所以你只听得懂你想听的那个人说的话，别人的声音在你耳朵里全变成了没有意义的“白噪音”。